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“数学建模”在高中数学解题的应用

高中数学具有极强的针对性,除了要对数学定理和公式进行理解掌握,还要对学生的数学思维进行培养,以形成严密的思维模式,以便学生在今后的学习过程中能独立地解决数学问题.随着新课改的推进,在设置高中数学教学时,越发重视学生的自主学习能力和创新能力.而要满足这样的培养目标,就需要转变学生的数学学习观念.教师为了实现这样的目标,也在不断地探索新的教学模式———“数学建模”.利用这种教学模式对学生的数学思维进行训练,可以刺激他们自主探索解题方法,引导他们将知识与生活进行联系,从而不断发展他们的创新思维能力.[1]

一、“数学建模”在解题中的重要性

对于“数学建模”学生虽有所了解,但缺乏更深层次的理解.而事实上,数学建模对高中数学的学习来说有着不可忽视的重要意义.1.借助建模思维准确审题.高中和初中相比,在数学学习上更需要借用建模思维来求解实际问题,这也凸显出从初中到高中的跨越,这种跨越在数学上所表现出的是在广度和深度上的质的飞跃.在高中阶段,很多数学问题都含有诸多的已知条件、干扰条件和隐藏条件,这就需要学生通过分析进行辨别,从而完成解答.例如,已知f(x)是一个偶函数,其定义域为[-1,1],现有一函数g(x),其图像与f(x)的图像关于x=1对称,且当x∈[2,3]时,g(x)的表达式为g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a为实数),请写出f(x)的函数表达式.分析题意可知,这道题包含了多个数学模型,要想求解这道题,首先要抓住各模型之间的联系,而已知条件中的偶函数可以作为问题的切入点.首先观察g(x)的表达式,在坐标系中绘制出函数在x∈[2,3]时的大致图像,然后根据g(x)的式子假设两个公式,通过消元的方式对f(x)的表达式进行求解.2.借助建模思维化繁为简.对于一些复杂的题目,可通过建模进行简化.高中数学难度相比于初中数学具有较大幅度的提升,因此也呈现出难度系数大、准确度低、耗费时间长的特点.通过建模,能将繁杂的题目内容转化为简单的参数变量关系,更方便学生进行运用.[2]例如,证明cos2x+cos2(x+y)-2cosxcosycos(x+y)=sin2y这个等式.分析题目可知,这个等式包含了多种三角函数,而且还有平方关系.对于这类题目,一般的思路是利用转换公式对二次项进行降幂,这也是进行后续运算的关键.所以在求解时,可利用转化公式,用1+cos2x2代替cos2x等,这就从降幂的角度对问题进行了转化,也凸显出了数学模型的建立对求解问题的帮助.3.借助建模思维快速求解由于数学问题的复杂性,很多高中生绞尽脑汁地运算,却得到错误的结果,可见其在方法的选择上出现了问题.而利用数学建模,不仅能找到各对象之间的关联,还能对答案进行检验,在求解出结果后进行快速验算来判断结果的正确性,这也凸显了数学建模的优势和意义.例如,在对函数y=sinx-1cosx+2进行最值求解时,可以用sin(90°+x)替换cosx,然后代入函数进行建模,对其函数值的区间进行大致估算,最终进行精确求解.这种利用数学建模的方式,降低了求解的复杂性,而且保证了运算的准确率.

二、培养高中生数学建模意识的方法

不管用哪种方法教学,始终离不开教材这一参考依据,并且很多数学模型也都来源于此.因此教师要做的就是巧妙利用课本资源进行建模思维的教学.为此在实际教学过程中应该贯穿建模思想,通过引导学生关注知识和模型的联系来对他们的发散思维进行训练.1.在新授课中融入实际问题.例如,对于数列的学习,可以利用彩票和贷款这类生活中的事物,帮助学生建立知识与生活的联系,从而领会数列在实际问题中的模型应用.又如,对于立体几何知识的学习,可通过将立体图形模型化来进行教学,让学生理解正方体实际上是特殊的长方体.有了这层认识,学生自会明白与正方体相关的问题,首先需要满足长方体的基本条件.这样一来,就可以让学生明白解题模型对问题求解的重要意义.[3]2.在数学解题中融入模型思想.将模型思想融入到问题求解中,有利于学生通过实践对其内涵进行感悟,从而培养学生建模求解的良好习惯.除了新课教学时的建模思想的贯穿,还可以借助复习来进行建模能力的训练.在学完一个专题的内容后,可专门设置复习课,围绕相关的关键问题进行交流讨论,并让学生对这部分内容所用到的数学模型进行总结.例如,可结合实际问题的求解过程帮助学生总结并提炼出“图像解题”的方法,然后由此引申出去,对能用这类方法进行求解的问题进行归纳.如对二元不等式相关问题的求解,就可以结合函数图像来帮助理解,进而在此基础上进行求解.而对于几何问题来说,不管是平面几何还是立体几何,由于其本身就是图形,所以自然是一个会大量使用图像解题的类型.不仅如此,由于函数也有各自对应的图像,因此在求解函数问题时,也少不了要运用图像思维来求解,所以就需要学生重点掌握函数的基本图像性质.

三、数学建模在数学解题中的应用策略

建模方法除了对高中数学学习有帮助,还能应用于实际问题的求解中,方便他们提高解答速度和准确性,进而在考试中提高做题效率,实现成绩的稳步增长.1.借助数学建模进行参数转换.运用建模思想解题时,常用的一种方法是转换参数.以函数知识为例,其公式和图像可以相互转化,可见数学知识具有相通性.为此,在解决复杂的函数问题时,可将其进行转化,然后以图形的思路进行求解,将自变量和因变量对应关系展现在图形中.而对于几何问题的求解,亦可借助直角坐标系对其长度、角度等进行量化,以便完成求解.2.借助数学建模进行参数定义.求解概率和数列方面的问题时,一般会用整体减部分来代替部分的思路进行建模,这就是数学中的整体思想,通过转化概念实现简化题目,从而在思维的转换中进行求解.[4]对此也可由实例进行说明:同学们在玩抛硬币的游戏,而在概率学中我们已知,得到正反面的概率均为50%,请问如果抛十次硬币的话,十次的结果中至少有一次为正面的概念有多大?分析题目后可知,可将问题进行转化———在抛十次的结果中,先计算十次均抛出反面的概率,然后用1减去它就能得到结果.因此,先求出二分之一的十次方,再用1去减它,就计算出了至少有一次为正面的概率.3.借助数学建模找出隐藏条件.单从题目来分析,高中与初中的不同之处在于高中数学题目中有很多的隐藏条件,而对隐藏条件的处理,可能会直接提出用x,m等未知数来表示,也可以不指明.而往往在遇到有隐藏条件的问题时,学生会无从下手.利用建模思想,有助于正确使用公式,在抓住不同对象的联系的基础上,实现对隐藏条件的求解,进而提升求解速度.不管隐藏条件是怎样的,始终都不会改变数学公式的真理.因此只要模型正确,就能保证选用的公式和定理是正确的,进而找到正确的隐藏条件.例如,有这样一个题目:奇函数f(x)的定义域为[-2,2],已知g(x)的函数图像过点(6,5),且和f(x)关于x=1对称,则g(x)的值域为多少?从题目中的奇函数可知,f(0)=0,找出了这一隐藏条件,再求得g(x)的对称点,就有了求g(x)的两个条件,从而实现对问题的求解.

总之,对于高中数学知识的学习和数学问题的求解,建模方法的作用效果是非常明显的.通过在教学、求解等环节融入数学建模思想,不仅有助于学生更快地完成求解,而且能有效提高解题的正确率,而这类应用在高中阶段的数学学习中是非常广泛的.由此也可得出,只要正确地将建模方法用到教学实践中,就可让学生在不断的思维训练和能力发展的基础上取得良好的数学成绩.

参考文献:

[1]余建国.应用课应体现完整的数学建模过程[J].中国数学教育,2013(18).

[2]张爱平.在建模的过程中获得数学活动经验———对“建立模型解决问题”一课的设计与思考[J].中国数学教育,2011(23).

[3]郑大鹏.数学建模在高中数学课堂的教学策略研究[J].数学教学通讯,2017(12).

[4]肖慧.高中数学教学中数学建模的渗透[J].数学教学通讯,2018(27).F

作者:林玉花 单位:福建省厦门市大同中学

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